Théorème de Szegő d’ordre supérieur, cas d’une mesure discrète

Abstract

Th´eor`eme de Szeg˝o d’ordre sup´erieur, cas d’une mesure discr`ete R´esum´e : On pr´esente dans cette th´ese, une ´etude de th´eor`eme de Szeg˝o sur le comportement asymptotique des polynˆomes orthogonaux perturb´e par une suite de Blaschke infinie de masses ponctuelles. Le but de cette th`ese est d’´etudier le comportement asymptotique des polynˆomes orthogonaux {Φk}n∈N satisfont les relations d’orthonormalisation suivantes : Φn(z) = γnz n + ...(γn > 0), 1 2π Z 2π 0 Φn(z)Φm(z)dµ(θ) + X∞ k=1 AkΦn(zk)Φm(zk) = δmn; ∀ m, n = 0, 1, ..., z = e iθ . avec dµ = µ 0 acdm + dµs , µac est la partie absolument continue de µ et dµs est la partie singuli`ere sur T = {z ∈ C : |z| = 1}, o`u m est une mesure de probabilit´e bor´elienne sur le cercle unit´e T i.e. dm(t) = dt/(2πit) = 1/(2π)dθ , t = e iθ ∈ T. De plus µ v´erifie la condition g´en´eralis´ee de Szeg¨o : Z 2π 0 p(e iθ) log µ 0 ac(e iθ)dθ > −∞, o`u p un polynˆome trigonom´etrique tel que p(t) ≥ 0, t ∈ T . Les Ak v´erifie Ak > 0, X∞ k=1 Ak < ∞ et X∞ k=1 (|zk| − 1) < +∞, pour k = 1, ... et δ(z − zk) est la mesure de Dirac au pointzk.