Équations différentielles stochastiques rétrogrades et ses applications

Abstract

Dans ce travail, nous introduisons la notion des équations différentielles stochastiques rétrogrades que l'on notera EDSR. Nous étudions des résultats d'existence et d'unicité de la solution dans le cas lipschitzien et celui de monotonie; nous donnons ensuite quelques estimations a priori pour les solutions des EDSR et enfin noas rappelons un résultat de Peng : théorème de comparaison. Aussi une formule explicite de la solution des EDSR linéaires est donnée. LA représentation des EDSR dans le cadre markovien, nous permet d'établir alors le lien entre les EDSR et les équations aux dérivées parielles d'une part et à la finance d'autre part. Au premier chapitre, nous nous sommes intéressés à l'étude des EDSR, telle que l'existence et l'unicité, les estimations a priori et le théorème de comparaison qui fait appel à la notion des EDSR linéaires. Au second chapitre, on étudie les EDSR d'un point de vue markovien. On fait un rappel sur les EDS et ensuite on donne la propriété de markov pour ce type d'équations. Le troisième chapitre est consacré à l'étude des liens entre les EDSR et les EDP en montrant que les soluions des EDSR sont solutions de viscosité pour le système d'EDP dans le cas parabolique. Le dernier chapitre, on étudie l'application de ces équations et leurs rôles dans la finance en donnant un exemple financier.