Application de la théorie des opérateurs pour la résolution d’un problème d’optimisation quadratique

Abstract

Ce travail s’inscrit dans le cadre de la théorie d’opérateurs linéaires bornés sur un espace de Hilbert. Soit B(H) désigne l'algèbre de tous les opérateurs linéaires bornés agissant sur un espace de Hilbert complexe H. Un opérateur T est dit normal si , (il est bien connu que les opérateurs normaux ont une propriété invariante de translation, i.e., si T est un opérateur normal, alors (T−λI) l’est aussi pour tout λ∈C); auto adjoint si ; positif si et〈Tx, x〉≥ 0 pour tout x∈H; et projection si . Pour un opérateur T∈ B(H), si ‖Tx‖=‖x‖ pour tout x∈H ( ou ), alors T s'appelle une isométrie. Un opérateur T∈B (H) est appelé isométrie partielle si est une projection. Un opérateur T sur H est dit sous-normal s'il existe un espace de Hilbert K avec H est un sous-espace de K et un opérateur normal N sur K tel que NH⊆H et ; T est hyponormal si . Les opérateurs log-hyponormaux et p-hyponormaux sont introduite, et leurs propriétés sont étudiées dans [1] et [17] T. Ando [4] et Wang [2] ont prouvé que la classe w-hyponormaux contient les deux classes d’opérateurs log- hyponormaux et p-hyponormaux. Il est bien connu qu’un opérateur inversible p-hyponormal est log-hyponormal, mais la réciproque est fausse, Tanahashi [17] a donné un exemple d’un opérateur log-hyponormal qui’n’est pas p-hyponormal. Dans [3] , S.A. Azuraiqui a introduit la notion d’opérateurs n-normal. Les opérateurs considérés généralisent ce qu’on appelle "opérateur n-power-hyponormal" et en particulier les opérateurs normaux, qui sont très importantes par elle-même. Dans sa thèse, le doctorant va développer quelques définitions existées [1, 2, 3, 12, 15, 17], utilisant la technique de la généralisation, et étudier d’une façon approfondie leurs propriétés algébriques et topologiques, leurs caractéristiques et donner des exemples pour illustrer les nouveaux concepts. Par suite, le candidat va étudier quelques applications, i.e., étude des inclusions et coïncidences avec des classes d’opérateurs connus dans les littératures : classe d’opérateurs positifs, classe d’opérateurs compacts,…